6. 효용함수와 무차별곡선

 

 

 

모든 소비자들은 합리적인 의사결정을 하기 위해 노력한다. 합리적인 의사결정을 하여 자신의 효용을 극대화 시키는 것이 소비자들의 목적이다. 즉 합리적 소비자들의 의사결정은 주어진 예산하에서 효용을 극대화하려고 한다.

그렇다면 효용이란?

효용이란 소비자가 어떠한 상품 또는 재화를 소비함으로써 얻는 만족감이다. 합리적 소비자는 재화나 상품을 선택할 때 자신에게 가장 큰 효용을 주는 것을 선택한다.

하지만 이러한 효용은 극히 주관적이므로 절대적 수치로 표현할 수 없다. 즉 상품 A와 B가 있다면, A가 주는 효용이 더 커서 선택할 것이고 이는 서수적 효용의 관점에서 접근하는 시각이다. 총 효용함수의 공식은 U=U(x,y)이다.

위의 그림에서 같이 효용은 상승하다가 어느 변곡점을 지나면서 점차 완만해진다. 원점에서부터 변곡점까지는 효용이 증가하는 것을 체감할 수 있기에 '한계효용 체증의 법칙'이라고 한다. 반면에 어느 변곡점을 지나면서 완만해지면 증가하는 효용이 점차 줄어든다는 것을 알 수 있기에 '한계효용 체감의 법칙'이라고 한다. 최종적으로는 점차 감소하기 시작하며 포화상태에 이르른다.

이러한 효용은 한계적이며 당연히 커질수록 효용, 즉 만족감이 커진다는 것이다. 위의 그래프는 무차별 효용곡선을 나타낸 것이고 특징은 대표적으로 다음과 같다. 

1)원점에서 볼록한 형태를 가진다. ★★★

2)무차별곡선은 서로 교차하지 않는다.

3)원점에서 멀리 떨어져 있는 곡선의 효용이 가장 크다.

4)화살표 방향으로 커진다.

 

무차별곡선의 형태

이러한 무차별 곡선의 형태는 크게 세가지로 나뉜다.

1)콥더글라스 효용함수

가장 일반적인 형태의 효용함수다. 곡선의 위치가 우상항 할수록 효용의 크기가 커지고, 한 무차별곡선 안에서의 효용의 크기는 모두 같다.

2)Leontief 무차별곡선

레온티에프 무차별곡선의 특징은 완전보완관계라는 점이며 'ㄴ' 곡선으로 우상향 한다.

쉽게 설명하자면 X축이 오른쪽 구두라고 하면 Y축은 왼쪽 구두이다. 예를 들어서 나에게 오른쪽 구두 2개, 왼쪽 구두 1개를 준다고 해서 나의 효용이 증가하지는 않는다. 즉 X와 Y가 서로 완전히 보완적인 관계이어야 한다는 것이다.

아래의 공식을 적용해본다면 X축 오른쪽 구두가 2, Y축 왼쪽 구두가 1이라면 a는 3이여야 하고 b는 2여야 한다는 답이 유추된다. 즉 재화의 성격에 따라서 곡선의 형태가 바뀔 수 있다.

 

3)선형 효용함수의 무차별 곡선

기존의 효용함수는 곡선의 형태였다면 선형 효용함수의 특징은 직선이라는 점이다. 이는 재화X를 증가하고 싶으면 재화Y를 반드시 그에 비례하여 포기를 해야 한다는 의미이다. 수요곡선의 특징과 비슷하다고 생각하면 될 듯하다. 즉 레온티에프 무차별곡선과는 다르게 완전대체관계이다. X재와 Y재가 서로 대체되는 관계이다. 곡선의 어디에서든 기울기는 같다. 예를들어서 X축이 삼겹살 2단위, Y 축이 소고기 3단위라고 하는 사람의 효용을 아래의 공식을 사용하여 구하면

-aX=bY

-2X=3Y

X=3, Y=2가 되어, 최종적으로 이사람의 효용은 12라는 것을 알 수 있다. 

무차별곡선 그려보기

무차별곡선을 직접 그릴 줄 알아야 한다. 그러기 위해서는 X축과 Y축이 각각 재화인지 비재화인지 알아야 한다. 그렇다면 재화의 종류가 무차별곡선과 무슨 상관이냐? 하면 재화는 소비할수록 효용이 증가하고 비재화는 소비하여도 효용이 증가하지 않는다. 그리고 무차별곡선을 그릴 때 꿀팁은 화살을 자신에게 겨눈다고 생각하면 된다. 

알아둬야 할 것은 7)Y가 중립재일 경우이다. X의 증가가 Y에게 어떠한 영향도 미치지 않는다는 무차별효용곡선이다.

예산선(Budget Line)

위에서 일반적인 콥더글라스 형태의 무차별곡선의 특징으로 원점으로부터 볼록하다는 특성을 말하였고, 서로 교차하지 않는다고 하였다. 그리고 또 한가지 특징이 있는데 바로 한계대체율 체감을 한다는 것이다. 한계대체율 체감이란 무차별곡선에서 X재를 a만큼 얻기 위해서는 Y재를 a만큼 포기해야한다는 것이므로 무차별 곡선의 기울기는 항상 우하항한다는 의미이다. 그리고 이러한 기울기는 예산선으로도 표현이 가능하다.

 

예산선이란 소비자가 주어진 소득(M)으로 소비할 수 있는 영역을 나타낸다. 이러한 예산선은 소득의 변화와 가격의 변화로 움질일 수 있다. 

주어진 예산선에서 소득이 변동할 시에, 예산선이 좌 혹은 우로 이동한다. 반면에 X재의 가격이 변동할 시에는 예산선의 Y축은 고정돼있고, 예산선의 Y축만이 좌혹은 우로 이동한다.

 

또한 한계효용 균등의 법칙이라는 말이 있는데, 무차별곡선의 기울기와 예산선의 기울기는 같다는 것을 의미한다.

반면에 위에서 언급한 한계효용 체감의 법칙은 기울기가 원점으로부터 볼록한 형태이며 곡선이 우상향 한다는 의미다.

한계효용 균등의 법칙	예산선의 기울기와 무차별곡선의 기울기가 같다.
한계효용 체감의 법칙	곡선은 원점으로부터 볼록하며 우상향한다.