12. 불확실성과 조건부상품

 

 

우리는 인생을 살면서 수많은 의사결정을 내리게 된다. 그리고 그 선택의 결과로 이득을 취할수도 있고, 손해를 입을 수도 있다. 그 이유는 우리가 선택의 결과를 100% 인지하지 못하고 있기 때문이다. 따라서 우리는 의사결정을 할 때 불확실성이 항상 존재하고, 그럼에도 불구하고 우리가 리스크를 감안하고 의사결정을 하는 이유는 효용을 얻기 위해서다. 그리고 우리는 최선의 선택을 하여 최대의 효용을 얻는 것이 목적이다. 그러나 리스크를 아예 회피하는 사람도 있다. 자기가 하는 선택이 비록 효용이 낮더라도 가장 안전한 선택을 하는 경우이다. 이는 사람들마다 모두 다르기에 위험성향 역시 사람들마다 다르다.

 

2가지 접근방식

불확실성이 있는 상황에서 우리는 두가지 종류의 의사결정을 하게 된다.

1. 어떤 상황이 실현되느냐에 따라서 결과값이 달라지는 조건부적 상품에 대한 선택의 문제. ex)두가지 선택 중, 어떤 것을 선택하느냐에 따라 효용의 값이 달라지는 경우.

2. 효용이라는 개념을 활용하여, 불확실성이 존재하는 상황에서 기대효용의 극대화를 추구하는 소비자의 선택모형으로 접근하는 기대효용이론이 존재한다. 그렇다면 우선 조건부 상품에 대해서 알아보자

 

불확실성과 조건부 상품

조건부상품이란 실현된 상황에 따라 그 결과값이 달라지는 경우를 조건부상품이라고 한다. 

가정) 집을 포함하여 6억원 상당의 재산을 갖고 있는 이워비가 있다. 이워비는 1/4 확률로 화재의 위험을 안고 있는 상황이다. 만약 불이 난다면 이워비의 재산은 4억원의 손실이 있을 것이며, 재산은 2억원으로 감소할 것이다. 즉 불이 날 경우에는 이워비의 재산은 2억으로 줄어들 것이고 그렇지 않을 경우에느 6억원이다.

위의 예시와 같이 이워비의 재산은 상황에 따라 달라진다. 1/4확률로 불이날 경우 2억원, 그렇지 않을 경우느 6억원이다. '재산'이라는 것을 하나의 상품으로 가정한다면, 이 상품은 상황에 따라 달라지는 조건부상품이다.

 

즉, 불이 났을 경우를 Wf, 불이 나지 않았을 경우를 Wn으로 설정한다. 그리고 화재발생확률은 1/4이다. 그렇다면 여기서 도출되는 이워비의 무위험선 자산(불이 나든 안나든 예상되는 자산)은 (2억*1/4+6억*3/4)=5억이다. 이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

세로축은 불이 나지 않았을 경우이며, 가로축은 불이 났을 경우임. 그리고 불이안났을 경우 재산 6억과, 불이 낫을 경우의 2억이 만나는 (2,6)지점을 초기부존점이라고 한다. 이는 곧 기울기인데, 기울기를 구하는 방법은 불이 날 확률 1/4와 불이 나지 않을 확률 3/4에서 분자끼리만 곱하면 그것이 기울기가 된다. 

 

그런데 어느날, 벵거라는 보험사가 이워비를 찾아왔다. 그리고 그에게 "어이 이워비씨, 만약 불이 났을 경우 내가 보험료 1원당 4원을 보상해주는 보험을 소개시켜주려고하는데...어때 가입해보실텐가?" 라고 제의를 했다면 이워비는 과연 가입해야할까? 

 

우선, 보험금 1원에 대해 가입시 지급해야하는 보험료를 우리는 공정보험료(fair premium rate)라고 한다. 즉 위의 상황에서는 1/4가 공정보험료다. 따라서 이워비는 보험료 1억원을 지불할 시, 보험금 4억원을 받게 된다. 쉽게 이해하기 위해서는 화재발생률=공정보험료라고 이해하면 쉽다.

 

그렇다면 만약 화재가 났을 시, 이워비의 피해금액은 4억원이다. 이 피해금액 4억원을 돌려받기 위해서 이워비는 얼마만큼의 보험을 들어야할까?

피해금액*공정보험료이다. 즉 4억원*1/4=1억이다. 즉 이워비가 1억원의 보험료를 지불해야 피해금인 4억을 받을 수 있다는 것이다. 이를 우리는 공정보험액(premium rate)이라고 한다.

 

즉 이워비의 원래 초기부존점은 A지점이다. 그리고 B는 무위험선이다. 이가 설명하는 것은 1억원 어치의 보험을 가입하고 불이 났을 경우와 안났을 경우 그의 재산은 모두 5억이라는 동일한 효용을 가져다 주는 점이다(6-1=5, 6-4+4-1=5). 따라서 AB는 그의 실질적인 예산선이다. 반면에 C 지점은 만약 이워비가 보험에 6억원 어치 가입하여 화재가 났을 시에 받게되는 금액은 20억인 반면에 화재가 안났을 시 그의 재산은 0원이 된다는 것을 설명할 수 있는 지점이다.  6억 보험료 냈을 시 화재가 날 경우 (6억*4-4=20억), 화재가 나지 않았을 경우는 순재산 0원. 

 

그리고 만약 벵거가 제시한 보험이 공정한 보험이라면, 예산선AB의 기울기가 두 경우의 확률 사이의 비율과 같게 된다. 이는 예산선 위의 어느 점에서나 이워비의 기대재산이 5억원이라는 것을 의미한다. 이를 우리는 등기대치선이라한다.

 

경영학과 4년동안 배우면서 머리에 쥐가 나도록 들었던 용어가 있다. 위험추구적, 위험중립적, 위험회피적인 성향이다. 그리고 이 세사람의 효용함수를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

만약 이워비가 위험회피적인 사람이라면 다음과 같은 효용함수를 나타낼 것이다. (U위에 고정표시는 나의 실수 -_-;;)

만약 여기서 벵거가 1원의 보험료당 2원의 보험금을 제시하거나, 1원의 보험료당 8원의 보험금을 제시했을 경우 그래프는 다음과 같다.

 

C점은 보험사 직원이 8원의 보험금을 제시한 경우이다. 이럴 경우 이워비의 획득 보험금은 증가할 것이기에 유리한 보험일 것이다. 반면에 D같은 경우에는 벵거가 2원의 보험금을 제시한 경우이다. 이럴 경우 불리한 보험이다. 

 

예시를 하나 갖고 문제를 풀어보자.

 

예시) 크리스티아노 호망두의 재산은 5억이다. 그는 도난에 대해 걱정하고 있고, 도난의 위험은 1/10이다. 도난을 당할 경우 그의 재산은 2억으로 줄어든다. 그런데 어느날 보험사 직원 Nah가 호망두에게 접근하여 보험을 권유하였다. 5천만원의 보험료 한도안에서 1원의 보험료에 대해 도난 발생시 6원의 보험금을 지급해주겠다고 하였다. 이러할 경우 조건부 상품의 틀 안에서 호망두가 어떠한 결정을 할지 분석하시오. 참고로 호망두는 위험 기피적인 성향을 갖고 있다.

호망두가 Nah로부터 제시받은 보험은 불리한 보험이다. 자세한 내용은 위에 작성되어있다. 잊어먹을 때마다 위의 그래프를 보고 기억을 되새기자. (혹~시라도 손님중에 위의 그래프 해설이 필요하신 분은 댓글달아주세요 ㅎㅎ)